Перейти к содержимому


Внимание! Основная масса файлов благополучно переехала на новое место, просьба проверить свои блоги, личку и темы, которые вы ведете, на предмет наличия изображений. Обнаруженные проблемы просьба постить в тему "Обсуждение работы форума".

Воруют-с!





Фотография

Пример расчета балки с концентрированной нагрузкой

Написано Sulde, 09 June 2014 · 8201 просмотров

Расчет на жесткость
Допустим мы хотим соорудить гаражный кран
Прикрепленное изображение
Грузоподъёмность 1т при максимальном вылете 2метра и прогибом стрелы под нагрузкой не более 5мм, при этом ось цилиндра закреплена на расстоянии 250мм от оси крепления консоли
Полистаем справочник Анурьева до страницы 56 по моему схема 8 то что нам надо :-)
Прикрепленное изображение
В третьей колонке мы видим знакомую нам букву Mmax а вот в четвертой есть не знакомая нам буква «зю» хотя правильно говорить Дзета http://ru.wikipedia....%B5%D1%82%D0%B0
Если вы прочитали преамбулу к таблице на странице 53 то вы уже знаете что в данном случае для отыскания Vmax при условии что А>L : Дзета будет равна сумме длин L и А, а в случае L>А, Дзета будет равна половине L.
Для тех кто не понял Z это координата точки на оси балки относительно левого края, для которой мы находим перемещение, в нашем примере эта точка будет совпадать с местом приложения нагрузки P но в принципе мы можем рассчитать перемещение балки под нагрузкой в любой интересующей нас точке.
Запишем значения переменных:
V=5/10=0,5см
P=1*1000=1000кгс.
E=(2,06*10^5) *10,19716213=2 100 615 кгс/см2
данное значение взято из таблицы 63 СНиП II-23-81* «СТАЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ» строго говоря этот СНиП предписывает 2 100 000 кгс/см2, но мне хотелось показать вам процесс перевода единиц. Про который ни в коем случае нельзя забывать!


A=2*100=200см
L=250/10=25см
Z=F+L=200+25=225см
Какая буква нам с вами неизвестна?
Правильно J !
Вот её и будем искать
Преобразуем формулу меняем V и J местами (этот фокус во 2 классе проходят поэтому без комментариев)
J=(P/(6*E*V))*((А*L*Z)-((A*Z^3)/L)+(((А+L)*(Z-L)^3)/L))
А зачем так много скобок спросите вы? Действительно половина скобок лишняя….,
но если я у вас спрошу сколько будет два плюс два умножить на два, многие из вас ответят восемь.
Между тем 2+2*2=2+4=6 поэтому 2+(2*2) несколько более надежная постановка задачи

Но мы отвлеклись. Вписываем числа вместо букв
J=(1000/(6* 2100615,399* 0,5))*((200*25*225)-((200*225^3)/25)+(((200+25)*(225-25)^3)/25))=-2856,3058см4
Во избежание ошибок при вбивании длинных формул в таблицу рекомендую разбивать её на несколько ячеек как показано на рисунке
Прикрепленное изображение
Поверьте набить длинную формулу в одну ячейку без ошибки не так и просто. При этом таблица выдаст безупречный с точки зрения арифметики результат, но вот цена этой ошибки может быть чрезвычайно высока…. Поэтому внимательность и еще раз внимательность.
Ну будем надеяться мы ввели формулу верно
И минимально допустимый момент инерции нашего сечения Jдоп.=2856,31см4
Будет это двутавр, или круглая труба, или уголок не суть важно главное чтобы момент инерции этого профиля (J) был не меньше рассчитанного нами.
Прикрепленное изображение
Для ориентировки по размерам сечения можно пролистать справочник до страницы 153 или 154 и увидеть что по условию жесткости нам вполне подходит швеллер или двутавр №24.
Мы пока не будем вдаваться в свойства геометрических сечений скажем только, что два швеллера сваренные коробкой «[ ]» позволяют суммировать их момент , следовательно нашим условиям вполне удовлетворит балка из двух швеллеров №20П даже двух двутавров 18а.
Перейдем к расчету на прочность
Формула приведенная в столбце три позволяет рассчитать момент реакции опоры M
Однако нас с вами интересует не он, а не превысят ли напряжения в материале балки некую критическую величину называемую допустимыми напряжениями.
В литературе для обозначения напряжения используется прописная греческая буква сигма http://ru.wikipedia....%BA%D0%B2%D0%B0) по начертанию она похожа на русскую «б» поэтому в написании формул я буду использовать её (извините но мне лень подставлять греческий символ)
Чтобы узнать значения допустимых напряжений для стали, нам придется прогуляться до страницы 61 нашего справочника . На страницах следующих за ней даны значения для более продвинутых марок сталей, чугунов, и пластмасс. Если же вы решили построить кран чего то более экзотического например из фанеры или титана вам придется поискать эти значения, на страницах посвященным соответствующим материалам.
В любом случае для создания надежной конструкции расчетные напряжения не должны превышать пределов текучести материала.
Как вы могли заметить допустимые напряжения для стали (бдоп) указанные в таблице Анурьева в 2 а то и в 3раза меньше пределов текучести (бт) соответствующих марок, связано это с явлениям усталости метала.
Итак по условию прочности напряжения в материале балки (бм) должны быть меньше или равны допустимым напряжениям (бдоп)
За способность сечения воспринимать нагрузки отвечает «момент сопротивления изгибу» или просто «момент сопротивления» обозначают его латинской буквой W, как и момент инерции (J) его указывают в сортаменте для основных осей Wx или Wy соответственно. Исключением из этого правила является квадратные и круглые сечения моменты которых по главным осям равны между собой. По сути W является производной величиной от J но об этом чуть ниже.
Для того чтобы определить напряжения материала в сечении (бм) нам достаточно разделить момент в этом сечении (М) на момент сопротивления этого сечения (W)
Считаем :
Mмах=P*a=1000*200=200000кгс/см
Допустим мы собираемся использовать для нашей балки сталь 3, очевидно работает она на изгиб и режим нагрузки стрелы крана пульсирующий, следовательно бдоп=110Мпа=110*10,19716213=1121,68кгс/см2
Поскольку бм=M/W следовательно:
Wдоп=Mмах/бдоп=200000/1121,68=178,3см3
Теперь мы знаем что сечение нашей балки должно иметь момент инерции не менее Jдоп.=2856,31см4 и момент сопротивления не меньше Wдоп=178,3см3
Пойдем смотреть сортамент (страница 137 и далее)
В принципе нашим требованием вполне удовлетворяет выбранный нами ранее двутавр №24
Однако качество нашего крана нисколько не пострадает если под нагрузкой стрела будет прогибаться, не на 5мм а на 10мм, так или иначе нам хватит хода чтобы выдернуть движок из автомобиля. Следовательно нас вполне удовлетворит и №20 который на целых 6,3кг легче и скорее всего на 20% дешевле. Пересчитав значение прогиба V мы можем обнаружить что фактический прогиб составит не более 7,8мм.
Если же мы хотим повторить конструкцию крана показанную на картинке то нам скорее всего потребуется профильная труба сортамента на которую мы в справочнике не имеем.
Не беда поищем в интернет … например вот http://www.b2bmetal....x/index/id/111/
Но не спешите радоваться интернет в отличие от справочника не надежный источник информации.
Поэтому прежде чем листать таблицу в поисках нужных цифр попробуем оценить её достоверность.
Читаем «I - Момент инерции сечения»
Да называйте его какой угодно буквой хоть «Ы» лишь бы цифра правильная была…
Как вы уже заметили чем выше момент инерции сечения тем оно жестче, на практике это удобно показывать на стальной линейке, положенная плашмя она прогибается даже от легкого нажатия пальцем, но стоит поставить её на ребро и нажатие пальцем не вызовет видимых изменений.
Связано это с тем что Jx работающий когда линейка стоит на ребре на несколько порядков выше Jy работающего когда линейка уложена плашмя.
Мы легко можем в этом убедиться рассчитав момент инерции прямоугольника который из себя представляет сечение линейки.
В справочнике Анурьева масса полезной информации в частотности формулы расчета характеристик сечения простых фигур на странице 35, и далее …
Прикрепленное изображение
На странице 42 мы без труда обнаружим прямоугольник и убедимся что у линейки шириной 3см и толщиной 1мм Jх=(0,1*3^3)/12=0.225см4 что в 900 раз больше Jy=(3*0,1^3)/12=0,00025см4

Теперь мы можем вернуться к сортаменту и обнаружить, что ребята малость перепутали местами X и Y, весьма распространённая ошибка должен заметить.
Вот например труба 50х30х2,5 Iyy=11.8см4 Ixx=5.22см4, сами то цифры похожи на верные но читать следует Jx=11.8см4 Jy=5.22см4, принцип тот же что и с линейкой, ставим сечение на ребро получаем больше жесткости.

Вы также можете проверить верность самих приведенных моментов воспользовавшись формулами со страницы 43 справочника Анурьева. Если ваш ответ чуть больше приведенного в сортаменте значит всё хорошо, если он меньше или равен то вероятно вас дурачат. (ну или вы ошиблись в расчетах)

Проверяем значения W. На самом деле это не самостоятельная величина а производная от J и для симметричных сечений типа прямоугольника или двутавра имеющая зависимость Wх=Jх/(A*0.5), Wy=Jy/(B*0.5) где А и B высота и ширина сечения соответственно.
Вернемся к нашей трубе 50*30 считаем Wх=Jх/(А*0,5)=11,8/(5*0,5)= 4,72см3 странно откуда у них Welxx=4,73см3 впрочем 0,01см4 можно простить списав на погрешность вычислений и округлений.

Однако следует помнить, такого рода «опечатки» довольно популярны в каталогах нестандартных профилей недобросовестных производителей где они могут достигать десятков процентов в плюс к фактическому моменту, поэтому проверка и еще раз проверка.
Конечно стрела гаражного крана не самая ответственная балка… в худшем случае она просто сломается оставив двигатель на прежнем месте … при совсем печальном раскладе прищемит чью-нибудь шаловливую ручонку грубо нарушающую ТБ … .

А вот обрушения балок перекрытия может иметь совсем другие последствия…

Очень важно понимать
Формулы приведенные у Анурьева верны на 100%
Арифметика вычисления таблиц безупречна.
Поэтому у вас есть только два способа получить неверный результат при решении задач.
1) Ошибиться при составлении формулы в ячейке
2) Скормить правильной формуле не верное значение переменной

Если вы смогли этого избежать то полученный ответ верен!

И воплощенный в материале он будет на 100% безопасен для вас и окружающих.

Для полного спокойствия при расчетах в водят коэффициент запаса в строительстве их минимальные значения регламентированы СНиП, в случае поделки типа нашего крана это кровавая борьба паранойи и жадности конструктора.
По моему разумению в нашем примере изначально заложен большой запас , не много найдется двигателей массой больше 900кг, да и вылет в 2 метра скорее всего избыточен.
Итак ищем оптимальную трубу
Минимальной массы (М) при соблюдении условий Welxx>=Wдоп, и Iyy>=Jдоп
Конечно можно и в рукопашную таблицу просмотреть прямо на сайте , но я рекомендую перенести эту таблицу в «Эксель» и изучить возможности вашей программы на предмет логических функций, поверьте это сделает вашу жизнь гораздо проще и занимательнее.
Ну или как минимум научитесь пользоваться сортировкой и фильтрами если вы этого еще не умеете….
У меня получается: оптимальной будет труба 260*140*4 массой 24,6кг/м и имеющая момент инерции Jx=2888cм4 откуда фактический прогиб нашей стрелы V=4.94мм как мы и хотели в начале
При этом труба имеет момент сопротивления Wx=222см3 что даёт нам запас по прочности около 25% по моему весьма достойно….
Помимо выше изложенных соображений про достаточный момент и минимальную массу не следует забывать о других моментах.
Так например стенка у нашей трубы всего 4мм что вероятно потребует усиления в местах устройства шарниров и сочленения.. поэтому возможно имеет смысл поискать более толстостенный вариант трубы пусть он и не будет оптимальным по массе.
Так или иначе расчетную часть данной балки можно считать закрытой .




Наверное, стоит написать жирными буквами (здесь и на предыдущей странице блога), что балка - это нечто длинное (длина много больше размеров в сечении), и что для относительно коротких элементов конструкций дело обстоит иначе (сложней).

Мне попадались на форуме прикидки жесткости для совсем коротких элементов (размеры сечения больше длины), полученные по формулам для балок, причем без всяких оговорок. Тут дело не в педантизме, а в том, что ошибиться можно о-о-очень сильно.
Наверное вы правы
Но как правило у народа возникает ступор с длинными элементами
Типа как гараж/дом перекрыть а не как гак крана расчитать
Вот бы в начале изложить расчет кратко, а потом добавить академичности. А то 9499 букв - лихо с непривычки то.
Михаил кратко изложено у Анурьева .... (короче просто некуда)
только вот понятно такое изложение далеко не всем =(

Поэтому и нужны эти 10^3 букв, что-бы даже "нулевой" человек с 6 классами школы мог проделать все эти телодвижения и не получить в последствии по голове своей же балкой....
Осталось только опубликовать операцию по удалению аппендицита. А чо? Просто ведь.

Саян (09 June 2014 - 23:26) писал:

Осталось только опубликовать операцию по удалению аппендицита. А чо? Просто ведь.
Да уже опубликовано и не раз

Но и к чему эти передергивания?
Математика наука точная. Достаточно следовать алгоритму и решение будет верным
А медицина наука естественная. Содержащая массу нюансов и исключений.... улавливаете разницу ....
Собственно по данным http://ru.wikipedia....%86%D0%B8%D1%82
Смертность при удалении аппендикса не меньше чем 1/1000


Вот вам еще одно видео ... со всеми кровавыми подробностями http://meduniver.com.../Video/140.html
Что такого то?
Полагаю что для многих хирургов расчет балки на прогиб, такая же недоступная магия как для на с вами полостная операция.....
а я вот спасибо скажу! Именно за разжевывание и раскладывание по полочкам! Кому то может и лишнее, а мне так полезно. Когда то Павел так же просто описал расчет прогиба двухопорной балки и мне это сильно подсобило в прикидках, за что ему повторное спасибо. Чем больше таких статей, тем меньше ляпов у неучей и самоучек вроде меня :)
Паш, Спасибо!!!
Спасибо!

Sulde (09 June 2014 - 12:55) писал:

Наверное вы правыНо как правило у народа возникает ступор с длинными элементамиТипа как гараж/дом перекрыть а не как гак крана расчитать
Не поняли!
Кто-то ведь гак посчитает по тем же формулам - поскольку нигде не сказано, что они для него не годятся. Хорошо, если заложит запас...

А кто-то будет рассуждать (на форуме) про жесткость чего-то короткого в какой-то машине и ссылаться на расчет по этим же формулам.

Чтобы доказать что так нельзя, придется разыскать первоисточник, где не забыли оговорить область применимости. Возможно, это и в Анурьеве не оговорено, но он расчитан на инженеров, которые когда-то все это изучали, а не на "чайников"..
На самом деле с точки зрения математики отношение сечения к длине балки, ненимеет никакого значения. Данные формулы верны для балок любого размера.
то о чем вы говорите не имеет отношения к расчетам.
вопрос ведь не в размерах сечения а в том чтобы оно было загружено целиком
чего на маленькой детали не всегда удаеёться достичь

Sulde (13 June 2014 - 16:25) писал:

На самом деле с точки зрения математики отношение сечения к длине балки, ненимеет никакого значения. Данные формулы верны для балок любого размера.
Если вы так твердо уверены, я не буду настаивать. Попробую зародить сомнеие. Возьмем куб, приваренный одной гранью к жесткой опоре и нагруженный на противоположной грани. Он тоже работает на изгиб (как длинная балка)? Или на сдвиг?

Больше спорить/приставать не буду!

vsh (13 June 2014 - 22:39) писал:

Попробую зародить сомнеие. Возьмем куб, приваренный одной гранью к жесткой опоре и нагруженный на противоположной грани. Он тоже работает на изгиб (как длинная балка)?
Нагруженный по схеме 1 из Анурьева он однозначно работает на изгиб :-)
Может, стоит дать инструкцию по компьютерным расчетам ? Вручную - щас ведь с единицами-коэффициентами так напутают... куда такие расчеты... Лира тяжеловата будет.. а вот Кристалл - достаточно простой...
Алекс, я ведь и пишу про компьютерные расчеты...
Хотя эксель сейчас на любом утюге запустить можно =)
Но расчеты мы рассматриваем простые. для которых ни лира ни кристал ни солид нафиг не нужны.
Напутать можно и там и там (сдуру как известно можно и хер сломать)
А вот по гибкости с таблицами ни одна из выше перечисленных прог тягаться не сможет.
Потому как табличку можно на любом телефоне таскать, а вашему кристалу подавай персоналку с 2гигами оперативки и камнем не хуже P4 и чтоб неприметно с Виновс и не младше ХП
Да еще и лицензию не дурно бы прикупить за 500 бакинских.
Бюджет ни фига не любительский получается.
Да и для профи решение сомнительное....
по моему разумению для современного инженера незнание экселя равнозначно не владению кадом.

Sulde (19 June 2014 - 02:15) писал:

Да и для профи решение сомнительное.... по моему разумению для современного инженера незнание экселя равнозначно не владению кадом.
Понравилось... Наверное, и такие бывают....
Вы только не раздражайтесь уж так... разговариваем же просто... :)
О кристалле я вот почему - он позволяет быстро считать еще ферменные конструкции -убирает громоздкую работу и работает справочником нагрузок и проч... в одноименных единицах....чтоб начать считать - надо мин. не только Анурьева и СНипы иметь, но и еще иметь навык ими пользоваться...и уж, конечно,любой прочностной расчет подразумевает хотя бы базовое знание сопромата...
Но если уж экселем ограничено - тогда может и стоит дать некоторые расчеты табличками с механизацией - на макросах, например, или на VBA.... Вы , как я, понимаю, им профессионально владеете...
Например - шарнирно опертая с двух сторон балка, балка с консольным защемлением...колонна на потерю устойчивости.. самые ходовые...
За основу можно взять широко известный в сети .xls Сортамент....

Зы. насчет расчета крана и шаловливых ручек... проектирование и производство грузоподъемных кранов -вообще-то одна из самых контролируемых позиций Ростехнадзора.... :) Не поверю, что Вы этого не знаете...

Sulde (14 June 2014 - 07:16) писал:

vsh (13 June 2014 - 22:39) писал:

Попробую зародить сомнеие. Возьмем куб, приваренный одной гранью к жесткой опоре и нагруженный на противоположной грани. Он тоже работает на изгиб (как длинная балка)?
Нагруженный по схеме 1 из Анурьева он однозначно работает на изгиб :-)
НЕ могу с этим согласиться! Изгиб, это некоторое приближение, с некоторой адекватностью описывающее реальную деформацию. В частности при расчетах для получения формул из справочника предпологалось, что слои чисто растягиваются или сжимаются, и не никакой деформации сдвига, нет эффекта Пуассона, и много чего еше нет. Поэтому справедливость этих формул является относительной. Для малых деформаций годится с приемлемой точностью, Для бОльших уже нет. Для балок длинных более мене "да," для коротких совершенно нет, т.к. В обсуждаемых в справочнике формулах вообще не учитывалсась деформация сдвига, которая тут играет основную роль.
Вы где то там рассматриваете трубу и у Вас запас по напряжению кажется раза в полтора. Тонкостенные трубы при таких нагрузках обычно уже устойчивость теряют. Это тоже в справочнике не обсуждается.... Вернее обсуждается, но не при расчете жесткости длинных балок.
Алекс я не раздражаюсь
Просто очень не люблю програмки подобные "кристалу" потому как алгоритм расчета в них как правило закрытый, то есть не совсем ясно что и как она считает.
(и плевать кем там эта програмка одобрена и какие сертификаты имеет, ну не доверяю я им ... 6 чувство у меня )
А использовать для расчета простых вещей, метод конечных элементов ... так это стрельба из пушки по воробьям
Я далеко не гуру Солид воркса, но кое что могу. Так вот написать табличку с нуля в экселе, быстрее чем строить модель, а результат +-одинаковый.

Что касается приемов работы с экселем, то я за 20 лет знакомства так и не понял нафига там бейсик вообще.
Все фокусы автоматизации типа подбора нужной строки из справочника можно сделать штатными функциями.
На самом деле спасибо за идею (я тут сомневался про что писать дальше ) давайте напишем про борьбу с экселем .

А что касается ростехнадзора и кранов ... так это не имеет никакого отношения к сопромату .... там не нагрузки и моменты считают а толщину котлеты ;-)

isv (20 June 2014 - 00:51) писал:

Sulde (14 June 2014 - 07:16) писал:

vsh (13 June 2014 - 22:39) писал:

Попробую зародить сомнеие. Возьмем куб, приваренный одной гранью к жесткой опоре и нагруженный на противоположной грани. Он тоже работает на изгиб (как длинная балка)?
Нагруженный по схеме 1 из Анурьева он однозначно работает на изгиб :-)
НЕ могу с этим согласиться! Изгиб, это некоторое приближение, с некоторой адекватностью описывающее реальную деформацию. В частности при расчетах для получения формул из справочника предпологалось, что слои чисто растягиваются или сжимаются, и не никакой деформации сдвига, нет эффекта Пуассона, и много чего еше нет. Поэтому справедливость этих формул является относительной. Для малых деформаций годится с приемлемой точностью, Для бОльших уже нет. Для балок длинных более мене "да," для коротких совершенно нет, т.к. В обсуждаемых в справочнике формулах вообще не учитывалсась деформация сдвига, которая тут играет основную роль.Вы где то там рассматриваете трубу и у Вас запас по напряжению кажется раза в полтора. Тонкостенные трубы при таких нагрузках обычно уже устойчивость теряют. Это тоже в справочнике не обсуждается.... Вернее обсуждается, но не при расчете жесткости длинных балок.
Я не хочу спорить на эту тему,
Покрайней мере до тех пор пока вместо общих слов не увижу конкретных цифр доказывающих вашу точку зрения.
(модель в SW тоже сгодиться)
Схема 1 у Анурьева это консоль к концу которой приложен момент.... причем тут напряжения сдвига и коэффициент Пуассона.

Формулы из справочника это часть Ньютоновой механики им уже несколько сотен лет, они отлично описывают процессы в доступной обычному человеку части вселенной.
(балки размером в микрон или световой год мы тут не рассматриваем)

Sulde (20 June 2014 - 02:49) писал:

Формулы из справочника это часть Ньютоновой механики им уже несколько сотен лет, они отлично описывают процессы в доступной обычному человеку части вселенной.(балки размером в микрон или световой год мы тут не рассматриваем)
Формулы древние и правильные (но с учетом допущений при их выводе). К ньютоновской механике (это в основном кинематика) имеют весьма слабое отношение - не противоречат, но и не сводятся.

Прекрасно работают с микронами - лишь бы балка была длинная. С ангстремами не работают из-за дискретности материи, а со световыми годами - из-за гравитации (невозможно нагрузить "по Анурьеву").

Если владеете не только CAD, но и CAE (с МКЭ) - поробуйте глянуть на деформации куба, нагруженного как консольная балка (по Анурьеву). Я когда-то пробовал (наскоро) с поролоновым кубиком.